Question

18．如圖，在直角梯形ABCD中，∠DAB=∠CBA=90°，∠DCB=60°，AD=1，AB=$\sqrt{3}$，在直角梯形內(nèi)挖去一個(gè)以A為圓心，以AD為半徑的四分之一圓，得到圖中陰影部分，求圖中陰影部分繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積、表面積．

Answer 1

分析 旋轉(zhuǎn)后幾何體是一個(gè)圓臺(tái)，從上面挖去一個(gè)半球，根據(jù)數(shù)據(jù)可求其表面積和體積．

解答 解：∵直角梯形ABCD中，∠DAB=∠CBA=90°，∠DCB=60°，AD=1，AB=$\sqrt{3}$，
∴CD=2，BC=2，
由題意知，所求旋轉(zhuǎn)體的表面積由三部分組成：
圓臺(tái)下底面、側(cè)面和一半球面，
S_半球=$\frac{1}{2}×4π×{1}^{2}$=2π，S_{圓臺(tái)側(cè)}=π×2×2+π×1×2=6π，S_{圓臺(tái)底}=π×2²=4π．
故所求幾何體的表面積為：2π+6π+4π=12π．
由V_圓臺(tái)=$\frac{1}{3}π×\sqrt{3}×$（2²+1²+2×1）=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$π，
${V}_{半球}=\frac{1}{2}×\frac{4}{3}π×{1}^{3}$=$\frac{2π}{3}$，
所以，旋轉(zhuǎn)體的體積為：V=V_圓臺(tái)-V_半球=$\frac{7\sqrt{3}-2}{3}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查組合體的面積、體積問(wèn)題，考查空間想象能力，數(shù)學(xué)公式的應(yīng)用，是中檔題．