Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x+，其中常數(shù)λ＞0．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）若λ=1，判斷f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義加以證明；
（3）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，求常數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由于函數(shù)f（x）=x+，其中常數(shù)λ＞0，故函數(shù)的定義域為R，
且f（-x）=-x+=-f（x），故函數(shù)為奇函數(shù)．
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增．
證明：任取1≤x₁＜x₂，∵f（x₁）-f（x₂）=（x₁+）-（x₂+）=（x₁-x₂）+=（x₁-x₂）•，
由1≤x₁＜x₂，可得 x₁-x₂ ＜0，x₁•x₂，＞1，∴f（x₁）＜f（x₂），
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增．…
（3）任取1≤x₁＜x₂，∵f（x₁）-f（x₂）=（x₁+）-（x₂+）=）=（x₁-x₂）+λ•=（x₁-x₂）•，
且函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)遞增．∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴x₁•x₂-λ＞0 對1≤x₁＜x₂ 恒成立，∴λ＜x₁•x₂，再由1＜x₁•x₂，可得0＜λ≤1．…
分析：（1）函數(shù)的定義域為R，且f（-x）=-x+=-f（x），可得函數(shù)為奇函數(shù)．
（2）任取1≤x₁＜x₂，計算f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）•＜0，可得 f（x₁）＜f（x₂），從而得到函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增．
（3）任取1≤x₁＜x₂，根據(jù)f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）•，且函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)遞增，可得f（x₁）-f（x₂）＜0，
即 λ＜x₁•x₂ 對1≤x₁＜x₂ 恒成立．再由1＜x₁•x₂，可得λ的范圍．
點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，屬于中檔題．