Question

已知定義在（0，+∞）上的兩個(gè)函數(shù)f(x)=x2-alnx，g(x)=x-a

x

，且f(x)在x=1處取得極值．
（1）求a的值及函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：當(dāng)1＜x＜e2時(shí)，恒有x＜

2+lnx

2-lnx

成立．
（3）把g（x）對(duì)應(yīng)的曲線向上平移6個(gè)單位后得曲線C₁，求C₁與f（x）對(duì)應(yīng)曲線C₂的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）∵f′（x）=2x-

a

x

，∴f'（1）=2-a=0，∴a=2．…（2分）
∴g(x)=x-2

x

．由g′(x)=1-

1

x

＞0，得x＞1；
由g′(x)=1-

1

x

＜0，得0＜x＜1．
∴g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）．…（4分）
（2）∵1＜x＜e²，
∴0＜lnx＜2，
∴2-lnx＞0．
欲證x＜

2+lnx

2-lnx

，只需證明2x-xlnx＜2+lnx，
即只需證lnx＞

2(x-1)

x+1

．
記F(x)=lnx-

2(x-1)

x+1

，
則F′(x)=

(x-1)2

x(x+1)2

．
當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0，
∴F（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
∴F（x）＞F（1）=0，
∴F（x）＞0，即lnx-

2(x-1)

x+1

＞0．
∴lnx＞

2(x-1)

x+1

．故結(jié)論成立．  …（8分）
（3）由題意知C1：h(x)=x-2

x

+6．
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為G(x)=x2-2lnx-(x-2

x

+6)=0在（0，+∞）上解的個(gè)數(shù)．…（10分）
G′(x)=2x-2

1

x

-1+

1

x

=

2x2-2-x+ x

x

=

( x -1)(2x x +2x+ x +2)

x

．
由G'（x）＞0，得x＞1；由G'（x）＜0，得0＜x＜1．
∴G（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減．
又G（1）=-4＜0，所以G(x)=x2-2lnx-(x-2

x

+6)=0
在（0，+∞）上有2個(gè)解．
即C₁與f（x）對(duì)應(yīng)曲線C₂的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2．…（14分）