Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，

3

2

），且離心率e=

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，

3

2

），且離心率e=

3

2

，結(jié)合b²=a²-c²，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）因?yàn)橹本�l經(jīng)過橢圓內(nèi)的點(diǎn)B（-1，0），所以直線l與橢圓恒有兩個不同的交點(diǎn)M，N．當(dāng)直線l的斜率不存在時，其方程是：x=-1，以MN為直徑的圓不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)方程是y=k（x+1），將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，所以

OM

•

ON

=0，即可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由已知e=

c

a

=

3

2

，即c²=

3

4

a²，b²=a²-c²=

1

4

a²，
∴

x2

a2

+

4y2

a2

=1
∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，

3

2

），
∴

1

a2

+

12

4a2

=1
∴a²=2，∴b²=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y²=1．
（Ⅱ）因?yàn)橹本�l經(jīng)過橢圓內(nèi)的點(diǎn)B（-1，0），所以直線l與橢圓恒有兩個不同的交點(diǎn)M，N．
當(dāng)直線l的斜率不存在時，其方程是：x=-1，代入

x2

4

+y²=1得y=±

3

2

，可知M（-1，

3

2

），N（-1，-

3

2

）
∴以MN為直徑的圓不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)方程是y=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由

y=k(x+1) x2 4 +y2=1

，可得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0
∴x₁+x₂=

-8k2

1+4k2

，x₁•x₂=

4k2-4

1+4k2

，
因?yàn)橐訫N為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，所以

OM

•

ON

=0．
可得x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k（x₁+1）•k（x₂+1）=（1+k²）x₁x₂+k²（x₁+x₂）+k²=0．
∴（1+k²）×

4k2-4

1+4k2

+k²×

-8k2

1+4k2

+k²=0．
∴k=±2
綜上所述，過點(diǎn)B（-1，0）能作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，
方程為y=2x+2或y=-2x-2．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是利用以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O時，

OM

•

ON

=0．