Question

設(shè)函數(shù)f（n）=k（其中n∈N^*），k是

2

的小數(shù)點(diǎn)后第n位數(shù)字

2

=1.41421356237…，則

f{f…f[f(8)]}

2010個(gè)

的值為

4

．

Answer 1

分析：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可得當(dāng)式子中的個(gè)數(shù)為3m，m∈N₊ 時(shí)，根據(jù)周期性得到函數(shù)值等于4，而2010=3×670，故所求的式子等于4．

解答：解：f（8）=6，f（f（n））=f（6）=3，
f（f（f（n）））=f（3）=4，
f（f（ f（f（n））） ）=f（4）=2，
f（ f（f（ f（f（n））） ））=f（2）=1，
f（f（ f（f（ f（f（n））） ）） ）=f（1）=4，
f（ f（f（ f（f（ f（f（n））） ）） ））=f（4）=2，
f（f（ f（f（ f（f（ f（f（n））） ）） ）） ）=f（2）=1，…
故當(dāng)式子中f的個(gè)數(shù)為3m，m∈N₊ 時(shí)，函數(shù)值等于4，而 2010=3×670，
∴則要求的式子的值等于4，
故答案為  4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)求函數(shù)的值，得到當(dāng)式子中f的個(gè)數(shù)為3m，m∈N₊ 時(shí)，看出函數(shù)的值是一個(gè)周期性變化的值，且看出函數(shù)值等于4是解題的關(guān)鍵