如圖，在一個半徑為r的半圓形鐵板中有一個內(nèi)接矩形ABCD，矩形的邊AB在半圓的直徑上，頂點C、D在半圓上，O為圓心．令∠BOC=θ，用θ表示四邊形ABCD的面積S，并求這個矩形面積S的最大值．
分析：根據(jù)直角三角形中的三角函數(shù)和圖形求出矩形的長和寬，再表示出矩形的面積，利用倍角的正弦公式化簡，再由正弦函數(shù)的最值求出矩形面積的最大值．
解答：解：由圖得，BC=rsinθ，AB=2rcosθ，
∴S=AB×BC=2rcosθ×rsinθ=r2sin2θ，
當θ=
π
4
時，sin2θ=sin
π
2
=1，
∴Smax=r2．
點評：本題是實際問題為背景，考查了倍角的正弦公式，以及直角三角形中的三角函數(shù)，注重數(shù)學在實際中的應用．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，M是半徑為R的圓周上一個定點，在圓周上等可能地任取一點N，連接MN，則弦MN的長度超過
2
R的概率是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，有一塊半徑為R的半圓形空地，開發(fā)商計劃征地建一個矩形游泳池ABCD和其附屬設(shè)施，附屬設(shè)施占地形狀是等腰△CDE，其中O為圓心，A，B在圓的直徑上，C，D，E在圓周上．
（1）設(shè)∠BOC=θ，征地面積記為f（θ），求f（θ）的表達式；
（2）當θ為何值時，征地面積最大？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，已知三棱錐P-ABC的各頂點均在一個半徑為R的球面上，球心0在AB上，P0⊥平面ABC，
AB
BC
=
3
，則三棱錐與球的體積之比為
3
：8π
3
：8π
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2008-2009學年高三（上）數(shù)學寒假作業(yè)（理科）（解析版） 題型：填空題

如圖，M是半徑為R的圓周上一個定點，在圓周上等可能地任取一點N，連接MN，則弦MN的長度超過R的概率是    ．

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