(2011•鹽城二模)已知數(shù)列{an}單調(diào)遞增,且各項非負(fù),對于正整數(shù)K,若任意的i,j(1≤i≤j≤K),aj-ai仍是{an}中的項,則稱數(shù)列{an}為“K項可減數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列{an}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,且數(shù)列{an-2}是“K項可減數(shù)列”,試確定K的最大值;
(2)求證:若數(shù)列{an}是“K項可減數(shù)列”,則其前n項的和Sn=
n2
an(n=1,2,…,K)

(3)已知{an}是各項非負(fù)的遞增數(shù)列,寫出(2)的逆命題,判斷該逆命題的真假,并說明理由.
分析:要緊扣新概念,借助于等比數(shù)列的性質(zhì)以及數(shù)列前N項和的性質(zhì).
(1)由于an=2n,則cn=2n-2,緊扣K項可減數(shù)列的概念,求出k值;
(2)要緊扣新概念,因?yàn)閿?shù)列{an}是“K項可減數(shù)列”,所以ak-at(t=1,2…,K)必定是數(shù)列{an}中的項;
(3)考查命題的真假,要有數(shù)列前N項和公式求通項公式,由an=
Sn-Sn-1,n≥2
S1,n=1
即可求出.
解答:解:(1)設(shè)cn=an-2=2n-2,則c1=0,c2=2,c3=6,
易得c1-c1=c1,c2-c1=c2,c2-c2=c1,即數(shù)列{cn}一定是“2項可減數(shù)列”,
但因?yàn)閏3-c2≠c1,c3-c2≠c2,c3-c2≠c3,所以K的最大值為2. …(5分)
(2)因?yàn)閿?shù)列{an}是“K項可減數(shù)列”,
所以ak-at(t=1,2…,K)必定是數(shù)列{an}中的項,…(7分)
而{an}是遞增數(shù)列,故ak-ak<ak-ak-1<ak-ak-2<…<ak-a1
所以必有ak-ak=a1,ak-ak-1=a2,ak-ak-2=a3,…,ak-a1=ak,
則a1+a2+a3+…+ak=(ak-ak)+(ak-ak-1)+(ak-ak-2)+…+(ak-a1)=Kak-(a1+a2+a3+…+ak),
所以SK=KaK-SK,即SK=
K
2
aK

又由定義知,數(shù)列{an}也是“t項可減數(shù)列”(t=1,2,…,K-1),
所以Sn=
n
2
an(n=1,2,…,K)
.                         …(10分)
(3)(2)的逆命題為:
已知數(shù)列{an}為各項非負(fù)的遞增數(shù)列,若其前n項的和滿足Sn=
n
2
an(n=1,2,…,K)
,
則該數(shù)列一定是“K項可減數(shù)列”,該逆命題為真命題.   …(12分)
理由如下:因?yàn)?span id="nskbtii" class="MathJye">Sn=
n
2
an(1≤n≤K),所以當(dāng)n≥2時,Sn-1=
n-1
2
an-1
,
兩式相減,得an=Sn-Sn-1=
n
2
an
-
n-1
2
an-1
,即(n-2)an=(n-1)an-1(n≥2)(*)
則當(dāng)n≥3時,有(n-3)an-1=(n-2)an-2(**)
由(**)-(*),得an+an-2=2an-1(n≥3),
a1=
1
2
a1
,所以a1=0,故數(shù)列a1,a2,…,aK是首項為0的遞增等差數(shù)列.
設(shè)公差為d(d>0),則an=(n-1)d,(n=1,2,…,K),
對于任意的i,j(1≤i≤j≤K),aj-ai=(j-i)d=aj-i+1,
因?yàn)?≤1≤j-i+1≤K,所以aj-ai仍是a1,a2,…,aK中的項,
故數(shù)列{an}是“K項可減數(shù)列”.                      …(16分)
點(diǎn)評:本題是創(chuàng)新概念題,做題時要緊扣新概念.結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)來完成.
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2n
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2n
)
-
1
2n
2n
k=1
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2n
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5
5

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