精英家教網(wǎng)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知過(guò)點(diǎn)(1，
3
2
)的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），過(guò)焦點(diǎn)F且與x軸不重合的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P，直線PA，PB分別交橢圓C的右準(zhǔn)線l于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(
8
5
，
3
3
5
)，試求直線PA的方程；
（3）記M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為yM，yN，試問(wèn)yM•yN是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
分析：（1）如圖所示，由于過(guò)點(diǎn)(1，
3
2
)的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），可得
1
a2
+
9
4b2
=1
c=1
a2=b2+c2
，解得即可．
（2）由點(diǎn)B的坐標(biāo)為(
8
5
，
3
3
5
)，點(diǎn)P與點(diǎn)B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，可得P(-
8
5
，-
3
3
5
)．利用斜率計(jì)算公式可得kBF．即可得到直線BF的方程y=
3
(x-1)．與橢圓的方程聯(lián)立解得xA．進(jìn)而得到直線PA的方程．
（3）橢圓C的右準(zhǔn)線l為：x=
a2
c
=4．當(dāng)直線AB⊥x軸時(shí)，B（1，
3
2
），A(1，-
3
2
)，P(-1，-
3
2
)．即可得到直線PB的方程，直線PA的方程，即可得到y(tǒng)M•yN．當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．則P（-x2，-y2）．可得直線PB的方程為：y=
y2
x2
x，與x=4聯(lián)立，解得yN=
4y2
x2
．設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-1）．直線PA的方程為：kPA=
y1+y2
x1+x2
．由
x
2
1
4
+
y
2
1
3
=1，
x
2
2
4
+
y
2
2
3
=1，兩式相減得
(x1+x2)(x1-x2)
4
+
(y1+y2)(y1-y2)
3
=0．得到
3
4
+kPA•kAB=0，即kPA=-
3
4k
．得到直線PA的方程為：y+y2=-
3
4k
(x+x2)．聯(lián)立直線PA與l的方程
x=4
y+y2=-
3
4k
(x+x2)
，解得yM．進(jìn)而得到y(tǒng)M•yN．
解答：解：（1）如圖所示，精英家教網(wǎng)∵過(guò)點(diǎn)(1，
3
2
)的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），
∴
1
a2
+
9
4b2
=1
c=1
a2=b2+c2
，解得c=1，b2=3，a2=4．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(
8
5
，
3
3
5
)，點(diǎn)P與點(diǎn)B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱．∴P(-
8
5
，-
3
3
5
)．
可得kBF=
3
3
5
8
5
-1
=
3
．
∴直線BF的方程y=
3
(x-1)．
聯(lián)立
y=
3
(x-1)
x2
4
+
y2
3
=1
，化為5x2-8x=0，解得x=0或
8
5
．
把x=0代入直線方程可得y=-
3
．
∴A(0，-
3
)．
∴kPA=
-3
3
5
+
3
-
8
5
-0
=-
3
4
．
∴直線PA的方程為：y=-
3
4
x-
3
．
（3）橢圓C的右準(zhǔn)線l為：x=
a2
c
=4．
①當(dāng)直線AB⊥x軸時(shí)，B（1，
3
2
），A(1，-
3
2
)，P(-1，-
3
2
)．
∴直線PB的方程為：y=
3
2
x，聯(lián)立
x=4
y=
3
2
x
，解得yN=6．
直線PA的方程為：y=-
3
2
，∴yM=-
3
2
．
∴yN•yM=6×(-
3
2
)=-9．
②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．則P（-x2，-y2）．
∴直線PB的方程為：y=
y2
x2
x，聯(lián)立
x=4
y=
y2
x2
x
，解得yN=
4y2
x2
．
設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-1）．
直線PA的方程為：kPA=
y1+y2
x1+x2
．
由
x
2
1
4
+
y
2
1
3
=1，
x
2
2
4
+
y
2
2
3
=1，
兩式相減得
(x1+x2)(x1-x2)
4
+
(y1+y2)(y1-y2)
3
=0．
∴
3
4
+kPA•kAB=0，∴kPA=-
3
4k
．
得到直線PA的方程為：y+y2=-
3
4k
(x+x2)．
聯(lián)立直線PA與l的方程
x=4
y+y2=-
3
4k
(x+x2)
，
解得y=-y2-
3(4+x2)
4k
=-
3(4+x2)(x2-1)
4y2
-y2=
-[4
y
2
2
+3
x
2
2
-12+9x2]
4y2
．
∵
x
2
2
4
+
y
2
2
3
=1，∴4
y
2
2
+3
x
2
2
-12=0．
∴yM=-
9x2
4y2
．
∴yM•yN=-
9x2
4y2
•
4y2
x2
=-9．
綜上可知：yM•yN=-9，為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系、斜率計(jì)算公式直線的點(diǎn)斜式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上，且滿足PF=4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線QA1，QA2分別交x軸于點(diǎn)S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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