【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)﹣f′(x)是奇函數(shù)
(1)求b、c的值.
(2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】
(1)根據(jù)g(x)=f(x)﹣f'(x)是奇函數(shù),且f'(x)=3x2+2bx+c能夠求出b與c的值;
(2)對g(x)進(jìn)行求導(dǎo),g'(x)>0時(shí)的x的取值區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間,g'(x)<0時(shí)的x的取值區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間.g'(x)=0時(shí)的x函數(shù)g(x)取到極值.
(1)∵f(x)=x3+bx2+cx,∴f'(x)=3x2+2bx+c.
從而g(x)=f(x)﹣f'(x)=x3+bx2+cx﹣(3x2+2bx+c)=x3+(b﹣3)x2+(c﹣2b)x﹣c
是一個(gè)奇函數(shù),所以g(0)=0得c=0,由奇函數(shù)定義得b=3;
(2)由(Ⅰ)知g(x)=x3﹣6x,從而g'(x)=3x2﹣6,
當(dāng)g'(x)>0時(shí),x<﹣或x>,
當(dāng)g'(x)<0時(shí),﹣<x<,
由此可知,g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(﹣),(,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間為(﹣,);
g(x)在x=﹣時(shí)取得極大值,極大值為4,
g(x)在x=時(shí)取得極小值,極小值為4.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形,PD⊥AB,O是AD的中點(diǎn),BO=CO.
(1)求證:AB⊥平面PAD;
(2)若AD=2AB=4, PA=PD,點(diǎn)M在側(cè)棱PD上,且PD=3MD,二面角P-BC-D的大小為,求直線BP與平面MAC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)農(nóng)產(chǎn)品近幾年的產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)如下表:
為了研究計(jì)算的方便,工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理,得到下表:
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)若近幾年該農(nóng)產(chǎn)品每萬噸的價(jià)格 (萬元)與年產(chǎn)量(萬噸)滿足,且每年該農(nóng)產(chǎn)品都能售完,當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí),銷售額最大?
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】高一學(xué)年結(jié)束后,要對某班的50名學(xué)生進(jìn)行文理分班,為了解數(shù)學(xué)對學(xué)生選擇文理科是否有影響,有人對該班的分科情況做了如下的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì):
理科人數(shù) | 文科人數(shù) | 總計(jì) | |
數(shù)學(xué)成績好的人數(shù) | 25 | 30 | |
數(shù)學(xué)成績差的人數(shù) | 10 | ||
合計(jì) | 15 |
(Ⅰ)根據(jù)數(shù)據(jù)關(guān)系,完成列聯(lián)表;
(Ⅱ)通過計(jì)算判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)對學(xué)生選擇文理科有影響.
附:
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題為真命題的是( )
A.設(shè)命題:,.則:,;
B.若,,則;
C.若是定義在上的減函數(shù),則“”是“”的充要條件;
D.若,,()是全不為0的實(shí)數(shù),則“”是“不等式和解集相等”的充分不必要條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方體的棱長為4,動點(diǎn)E,F在棱上,動點(diǎn)P,Q分別在棱AD,CD上。若,,,(大于零),則四面體PEFQ的體積
A.與都有關(guān)B.與m有關(guān),與無關(guān)
C.與p有關(guān),與無關(guān)D.與π有關(guān),與無關(guān)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù),恒不為0,若存在不等于1的正常數(shù),對于任意實(shí)數(shù),等式恒成立,則稱函數(shù)為函數(shù).
(1)若函數(shù)為函數(shù),求出的值;
(2)設(shè),其中為自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù).
①比較與的大;
②判斷函數(shù)是否為函數(shù),若是,請證明;若不是,試說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形,且PA=AD=1,AB=2,∠PAB=120°,∠PBC=90°.
(I)平面PAD與平面PAB是否垂直?并說明理由;
(II)求平面PCD與平面ABCD所成二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足下列條件:①f(x)不恒為0;②對任意的正實(shí)數(shù)x和任意的實(shí)數(shù)y都有f(xy)=yf(x).
(1)求證:方程f(x)=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根;
(2)設(shè)a為大于1的常數(shù),且f(a)>0,試判斷f(x)的單調(diào)性,并予以證明;
(3)若a>b>c>1,且,求證:f(a)f(c)<[f(b)]2.
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