Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足：a1+a2+a3+…+an=n-an，（n=1，2，3，…）

（Ⅰ）求證：數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列；

（Ⅱ）令bn=（2-n）（an-1）（n=1，2，3，…），如果對(duì)任意n∈N*，都有bn+t≤t2，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析. （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）利用a1+a2+a3+…+an＝n﹣an，再寫一式，兩式相減，整理可得數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列；（Ⅱ）先確定bn，再利用bn+1﹣bn，確定bn有最大值b3＝b4，從而對(duì)任意n∈N*，都有bnt≤t2，等價(jià)于對(duì)任意n∈N*，都有t2t成立，由此可求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

（Ⅰ）由題可知：，①

，②

②-①可得.

即：，又.

所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

∴.

由可得，

由可得.

所以，，

故有最大值.

所以，對(duì)任意，都有，等價(jià)于對(duì)任意，都有成立.

所以，

解得或.

所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.