Question

已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱．
（1）求實(shí)數(shù)b的值；
（2）設(shè)A、B是函數(shù)圖象上兩個(gè)不同的定點(diǎn)，記向量，試證明對(duì)于函數(shù)圖象所在的平面里任一向量，都存在唯一的實(shí)數(shù)λ₁、λ₂，使得成立．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
∴當(dāng)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上時(shí)，點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上，即，化簡(jiǎn)，得（a+ab）x₀²+（1-b²）x₀-1-b=0．
此關(guān)于x₀的方程對(duì)的實(shí)數(shù)均成立，即方程的根多于2個(gè)，
∴，解之，得b=-1．
（2）由（1）知，，又點(diǎn)A、B是該函數(shù)圖象上不同兩點(diǎn)，則它們的橫坐標(biāo)必不相同，于是，可設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），
所以都是非零向量．
又=
∴y₁≠y₂，
∴與不平行，
即與為函數(shù)圖象所在坐標(biāo)平面上所有向量的一組基．
根據(jù)平面向量的分解定理，可知，函數(shù)圖象所在的平面上任一向量，都存在唯一實(shí)數(shù)λ₁、λ₂，使得成立．
分析：（1）由已知中函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，故點(diǎn)在函數(shù)的圖象上時(shí)，點(diǎn)也在函數(shù)的圖象，代入即可構(gòu)造關(guān)于b的方程組，解方程組，即可得到答案．
（2）若要證明對(duì)于函數(shù)圖象所在的平面早任一向量，都存在唯一的實(shí)數(shù)λ₁、λ₂，使得成立，即證明向量不共線．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象的對(duì)稱性質(zhì)，平面向量的基本定理及其意義，其中（1）的關(guān)鍵是要根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于b的方程組，（2）的關(guān)鍵是理解向量，為平面內(nèi)的一組基底，兩向量不共線．