在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且
sinA
a
=
3
cosB
b
．
（1）求角B的大小；
（2）如果b=2，求△ABC面積的最大值．
考點：余弦定理,正弦定理
專題：三角函數(shù)的求值,解三角形
分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡，求出tanB的值，即可確定出B的度數(shù)；
（2）利用余弦定理表示出cosB，將b與cosB的值代入，整理得到關系式，利用基本不等式化簡求出ac的最大值，再由sinB的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值．
解答： 解：（1）已知等式
sinA
a
=
3
cosB
b
，由正弦定理得
sinA
sinA
=
3
cosB
sinB
，即tanB=
3
，
∴B=
π
3
；
（2）∵b=2，cosB=
1
2
，
∴cosB=
a2+b2-4
2ac
=
1
2
，
∴a2+c2=ac+4，
又∴a2+c2≥2ac，
∴ac≤4，當且僅當a=c取等號，
∴S=
1
2
acsinB≤
3
，
則△ABC為正三角形時，Smax=
3
．
點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（-1，1），
b
=（3，m），若
a
⊥
b
，則實數(shù)m=（　�。�
A、1B、-1C、3D、-3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），A（2，0）是長軸的一個端點，弦BC過橢圓的中心O，且
AC
•
BC
=0，|
OC
-
OB
|=2|
BC
-
BA
|．
（1）求橢圓的方程；
（2）對于橢圓上的兩點P、Q，∠PCQ的平分線總是垂直于x軸時，是否存在實數(shù)λ，使得
PQ
=λ
AB
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，設角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量
m
=（cosA，sinA），
n
=（
2
-sinA，cosA），若
m
•
n
=1．
（1）求角A的大��；
（2）若b=4
2
，且c=
2
a，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l：y=kx+2（k為常數(shù)）過橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的上頂點B和左焦點F，直線l被圓O：x2+y2=4截得的弦AB的中點為M．
（1）若|AB|=
4
5
5
，求實數(shù)k的值；
（2）頂點為O，對稱軸為y軸的拋物線E過線段BF的中點T且與橢圓C在第一象限的交點為S，拋物線E在點S處的切線m被圓O截得的弦PQ的中點為N，問：是否存在實數(shù)k，使得O、M、N三點共線？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，AB，CD為圓O的兩條直徑，P為圓O所在平面外的一點，且PA=PB=PC
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥圓O所在平面；
（Ⅱ）若AP⊥BP，∠BAC=
π
6
，求二面角A-PB-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=2cos2x+2
3
sinxcosx-1（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若0＜x≤
π
3
，求y=f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為平行四邊形，AD=A1A=
1
2
AB，點E為棱AB上的點，A1D⊥D1E．
（Ⅰ）若點F為線段D1E上的點，求證：A1D⊥AF；
（Ⅱ）設AD=1，若二面角D1-EC-D的大小為45°，求點B到平面D1EC的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
OA
，
OB
是夾角為60°的兩個單位向量，點C，D滿足
AC
=
.
CD
=
DB
，動點P滿足
DP
•
OC
=0，且
OP
=x
OA
+y
OB
（x，y∈R），則xy的最大值為
 
．

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