Question

已知等比數(shù)列{a_n}的首項a₁=l，數(shù)列{b_n}滿足首項b₁=3，且b_n=a_n•a_n+1（n∈N*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列•

Answer 1

分析：（1）由a₁=l，b₁=3，且b_n=a_n•a_n+1（n∈N*），令n=1求得a₂，因為數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，所以利用

a2

a1

得到公比，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)寫出數(shù)列{a_n}的通項公式即可；
（2）根據(jù)b_n=a_n•a_n+1求出

bn+1

bn

的值為常數(shù)，得到數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．

解答：解：（1）∵b_n=a_n•a_n+1，a₁=1，b₁=3，
∴b₁=a₁•a₂
∴a₂=3
又∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
∴a₂=a₁q
∴q=3
∴a_n=3^n-1；
（2）∵b_n=a_n•a_n+1，
∴

bn+1

bn

=

an+1•an+2

an•an+1

=

an+2

an

=

3n+1

3n-1

=3²
又∵b₁=3
∴數(shù)列{b_n}是以首項b₁=3，公比q=9的等比數(shù)列．

點評：考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列通項公式的能力，以及會判斷一個數(shù)列為等比數(shù)列．