Question

（2011•廣州模擬）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，AC∩BD=O．將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使AC=a，得到三棱錐A-BCD，如圖所示． 
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求證：AO⊥平面BCD；
（2）當(dāng)二面角A-BD-C的大小為120°時(shí)，求二面角A-BC-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)AC=a=2得到AC²=AO²+CO²，進(jìn)而得AO⊥CO，再結(jié)合AC，BD是正方形ABCD的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的AO⊥BD進(jìn)而證明結(jié)論；
（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合二面角A-BD-C的大小為120°時(shí)對(duì)應(yīng)的結(jié)論，進(jìn)而求出兩個(gè)半平面的法向量，即可求出結(jié)論．

解答：解：（1）證明：根據(jù)題意，在△AOC中，AC=a=2，AO=CO=

2

，
所以AC²=AO²+CO²，所以AO⊥CO．…（2分）
因?yàn)锳C，BD是正方形ABCD的對(duì)角線，
所以AO⊥BD．…（3分）
因?yàn)锽D∩CO=O，
所以AO⊥平面BCD；．…（4分）
（2）：由（1）知，CO⊥OD，如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OD所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，…（5分）
則有O（0，0，0），D(0，

2

，0)，C(

2

，0，0)，B(0，-

2

，0)．
設(shè)A（x₀，0，z₀）（x₀＜0），則

OA

=(x0，0，z0)，

OD

=(0，

2

，0)．…（6分）
又設(shè)面ABD的法向量為n=（x₁，y₁，z₁），
則

n• OA =0 n• OD =0.

即

x0x1+z0z1=0 2 y1=0.

  
所以y₁=0，令x₁=z₀，則z₁=-x₀．
所以n=（z₀，0，-x₀）．…（8分）
因?yàn)槠矫鍮CD的一個(gè)法向量為m=（0，0，1），
且二面角A-BD-C的大小為120°，…（9分）
所以|cos?m，n＞|=|cos120°|=

1

2

，得z02=3x02．
因?yàn)?span id="flnpt75" class="MathJye">|OA|=

2

，所以

x02+z02

=

2

．
解得x0=-

2

2

，z0=

6

2

．所以A(-

2

2

，0，

6

2

)．…（10分）
設(shè)平面ABC的法向量為l=（x₂，y₂，z₂），因?yàn)?span id="nvzpjz9" class="MathJye">

BA

=(-

2

2

，

2

，

6

2

)，

BC

=(

2

，

2

，0)，
則

l• BA =0 l• BC =0.

，即

- 2 2 x2+ 2 y2+ 6 2 z2=0 2 x2+ 2 y2=0.

令x₂=1，則y2=-1，z2=

3

．
所以l=(1，-1，

3

)．…（12分）
設(shè)二面角A-BC-D的平面角為θ，
所以cosθ=|cos?l，m＞|=|

3

1+1+( 3 )2

=|=

15

5

．…（13分）
所以tanθ=

6

3

．
所以二面角A-BC-D的正切值為

6

3

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察用空間向量求平面間的夾角．解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于求出兩個(gè)半平面的法向量．