Question

如果函數(shù)滿足在集合上的值域仍是集合，則把函數(shù)稱為N函數(shù).

例如：就是N函數(shù).

（Ⅰ）判斷下列函數(shù)：①，②，③中，哪些是N函數(shù)？（只需寫出判斷結(jié)果）；

（Ⅱ）判斷函數(shù)是否為N函數(shù)，并證明你的結(jié)論；

（Ⅲ）證明：對于任意實數(shù)，函數(shù)都不是N函數(shù).

（注：“”表示不超過的最大整數(shù)）

Answer 1

解：（Ⅰ）只有是N函數(shù).                      

（Ⅱ）函數(shù)是N函數(shù).

      證明如下：

      顯然，，.     -

不妨設,

由可得，

      即.

      因為，恒有成立，

      所以一定存在，滿足，

      所以設，總存在滿足，

所以函數(shù)是N函數(shù).      

（Ⅲ）（1）當時，有，

所以函數(shù)都不是N函數(shù).         -

     （2）當時，① 若，有，

所以函數(shù)都不是N函數(shù). -

                        ② 若，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)易得

                              ，

                           所以，都有

所以函數(shù)都不是N函數(shù). 

                        ③ 若，令，則，

所以一定存在正整數(shù)使得 ，

所以，使得，

所以.

又因為當時，,所以；

當時，,所以，

所以，都有，

所以函數(shù)都不是N函數(shù).

    綜上所述，對于任意實數(shù)，函數(shù)都不是N函數(shù).