Question

給出下列命題：
①已知函數f（x）=

x3+2x-3 x-1 ，(x＞1) ax+1，(x≤1)

在點x=1處連續(xù)，則a=4；
②若不等式|x+

1

x

|＞|a-2|+1對于一切非零實數x均成立，則實數a的取值范圍是1＜a＜3；
③不等式（x-2）|x²-2x-8|≥0的解集是{x|x≥2}
④如果△A₁B₁C₁的三個內角的余弦值分別等于△A₂B₂C₂的三個內角的正弦值，則△A₁B₁C₁為銳角三角形，△A₂B₂C₂為鈍角三角形．其中真命題的序號是

 

（將所有真命題的序號都填上）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：根據函數f（x）=

x3+2x-3 x-1 ，(x＞1) ax+1，(x≤1)

在點x=1處連續(xù)，求出a值，可判斷①；根據原不等式恒成立，|a-2|+1＜2，求出a的范圍，可判斷②；解不等式（x-2）|x²-2x-8|≥0，可判斷③；根據已知結合三角函數的符號，利用反證法，可判斷④．

解答： 解：若函數f（x）=

x3+2x-3 x-1 ，(x＞1) ax+1，(x≤1)

在點x=1處連續(xù)，則

lim

x→1

x3+2x-3

x-1

=4=a+1，則a=3，故①錯誤；
不等式|x+

1

x

|＞|a-2|+1對于一切非零實數x均成立，則|a-2|+1＜2，解得1＜a＜3，故②正確；
（x-2）|x²-2x-8|≥0的解集是{x|x≥2或x=-2}，故③錯誤；
△A₂B₂C₂的三個內角的正弦值均大于0，
所以△A₁B₁C₁的三個內角的余弦值也均大于0，則△A₁B₁C₁是銳角三角形．
若△A₂B₂C₂是銳角三角形，由

sinA2=cosA1=sin( π 2 -A1) sinB2=cosB1=sin( π 2 -B1) sinC2=cosC1=sin( π 2 -C1)

，
得

A2= π 2 -A1 B2= π 2 -B1 C2= π 2 -C1

，
那么，A₂+B₂+C₂=

π

2

，這與三角形內角和是π相矛盾；
若△A₂B₂C₂是直角三角形，不妨設A₂=

π

2

，
則sinA₂=1=cosA₁，所以A₁在（0，π）范圍內無值．
所以△A₂B₂C₂是鈍角三角形，故④正確；
故答案為：②④

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數的連續(xù)性，解不等式，解三角形，恒成立問題，難度中檔．