Question

以下四個命題：
①如果兩個平面垂直，則其中一個平面內的任意一條直線
都垂直于另一個平面內無數條直線；②設m、n為兩條不
同的直線，α、β是兩個不同的平面，若α∥β，m⊥α，n∥β，則m⊥n，③“直線a⊥b”的充分而不必要條件是“a垂直于b在平面α內的射影”；④若點P到一個三角形三條邊的距離相等，則點P在該三角形所在平面上的射影是該三角形的內心．其中正確的命題序號為     ．

Answer 1

【答案】分析：①兩個平面垂直，考慮直線與平面的位置關系，平行或相交，如果l∥β，則在β內可以找到無數條與l異面垂直的直線；如果l與β相交（含垂直），根據三垂線定理，在β內也能找到無數條直線與之垂直，②由α∥β，m⊥α，可以得到m⊥β，由n∥β，根據線面平行的性質定理，在β內一定存在一條與n平行的直線r，則m⊥r，故m⊥n，；③a垂直于b在平面α內的射影”應該是直線a⊥b”的充要條件；④若點P到一個三角形三條邊的距離相等，作這些距離在三角形內的射影，則三個射影也相等，P的射影O到三邊的距離相等，則O是三角形的內心．由此可以判定命題的真假．
解答：解：對于①兩個平面垂直，一個平面α內的任意直線l與另一個平面β只有兩種：平行或相交，如果l∥β，
則在β內可以找到無數條與l異面垂直的直線；如果l與β相交（含垂直），根據三垂線定理，
在β內頁能找到無數條直線與之垂直，故①正確；
對于②，由α∥β，m⊥α，可以得到m⊥β，由n∥β，
根據線面平行的性質定理，在β內一定存在一條與n平行的直線r，則m⊥r，故m⊥n，正確；
對于③，a垂直于b在平面α內的射影”應該是直線a⊥b”的充要條件，錯誤；
對于④，根據條件，作這些距離在三角形內的射影，則三個射影也相等，P的射影O到三邊的距離相等，則O是三角形的內心，錯誤；
故答案為：①②
點評：本題考查直線與直線位置關系的判定、平面與平面位置關系的判定、三角形五心的定義、是空間直線、平面位置關系判定與性質的綜合應用，解答時一定要注意判定定理與性質定理的綜合應用、三角形五心的定義，否則極易出現錯誤．