Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）左右焦點，上下頂點依次為F₁，F(xiàn)₂，B₁，B₂，若四邊形F₁B₁F₂B₂的面積為8，且橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點M，N在橢圓C上，若M，F(xiàn)₂，N三點共線，且$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{F}_{1}M}$+λ$\overrightarrow{{F}_{1}N}$（λ∈R），求直線MN的方程．

Answer 1

分析 （1）利用參數(shù)a，b，c表示出四邊形F₁B₁F₂B₂的面積．
（2）以題意，可先給出點M，N的坐標(biāo)，然后由題意列出關(guān)于點的坐標(biāo)的方程組，解出點M，N的坐標(biāo)，則非�？汕螅�

解答 解：（1）因為四邊形F₁B₁F₂B₂，所以${S}_{{F}_{1}{B}_{1}{F}_{2}{B}_{2}}$=$\frac{1}{2}×2b×2c=8$，即bc=4．
又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，結(jié)合a²=b²+c²解得$a=2\sqrt{2}，b=c=2$．
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）由已知得F₂（2，0）．
因為M，F(xiàn)₂，N三點共線，且$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{{F}_{1}M}+λ\overrightarrow{{F}_{1}N}$．
所以$λ=\frac{2}{3}且$$\overrightarrow{M{F}_{2}}=2\overrightarrow{{F}_{2}N}$．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則$\overrightarrow{M{F}_{2}}=（2-{x}_{1}，-{y}_{1}），\overrightarrow{{F}_{2}N}=（{x}_{2}-2，{y}_{2}）$，
所以（2-x₁，-y₂）=2（x₂-1，y₂），
所以$\left\{\begin{array}{l}{2-{x}_{1}=2（{x}_{2}-2）}\\{-{y}_{1}=2{y}_{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=6-2{x}_{2}①}\\{{y}_{1}=-2{y}_{2}②}\end{array}\right.$，
又M，N在橢圓C上，所以$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=8}\\{{{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=8}\end{array}\right.$，③
將①②代入③中的上式得$（3-{x}_{2}）^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=2$，④
將④與③中的下一個式子聯(lián)立解得${x}_{2}=\frac{5}{2}，{y}_{2}=±\frac{\sqrt{14}}{4}$．
故$N（\frac{5}{2}，±\frac{\sqrt{14}}{4}）$，所以${k}_{MN}=\frac{±\frac{\sqrt{14}}{4}}{\frac{5}{2}-2}=±\frac{\sqrt{14}}{2}$，
故直線MN的方程為$y=±\frac{\sqrt{14}}{2}（x-2）$，即$x±\frac{\sqrt{14}}{7}y-2=0$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法以及直線與橢圓的位置關(guān)系的問題的解決方法，屬于中檔題．