Question

已知函數(shù)，m為正整數(shù)．
（I）求f（1）+f（0）和f（x）+f（1﹣x）的值；
（II）若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為（n=1，2，…，m），求數(shù)列{a_n}的前m項(xiàng)和S_m；
（III）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足：，b _n+1=b_n²+b_n，設(shè)，若（Ⅱ）中的S_m滿足對(duì)任意不小于3的正整數(shù)n，恒成立，試求m的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）=1；
f（x）+f（1﹣x）===1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即=1，
∴a_k+a _m﹣k=1，
由S_m=a₁+a₂+a₃+...+a _m﹣1+a_m，①
得S_m=a _m﹣1+a _m﹣2+a _m﹣3+...+a₁+a_m，②
由①+②，得2S_m=（m﹣1）×1+2a_m，
∴，
（Ⅲ）∵，b _n+1=b_n²+b_n=b_n（b _n+1），
∴對(duì)任意的n∈N*，b_n＞0．
∴，即．
∴+…+．
∵b _n+1﹣b_n=b_n²＞0，
∴b _n+1＞b_n，∴數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列．
∴T_n關(guān)于n遞增．當(dāng)n≥3，且n∈N⁺時(shí)，T_n≥T₃．∵
∴．
∴，
∴m＜650. 5，而m為正整數(shù)，
∴m的最大值為650．