Question

12．如圖所示，P是正方形ABCD對角線BD上一點，四邊形PECF是矩形，求證：
（1）PA=EF；
（2）PA⊥EF．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的關(guān)于對角線成軸對稱，利用軸對稱的性質(zhì)可得出EF=AP；
（2）延長FP交AB于點G，延長AP交EF于點H，易證△PAG≌△FP，可求得∠FPH+∠PFH=90°，可證得結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖，連接PC，
∵PE⊥DC，PF⊥BC，四邊形ABCD是正方形，
∴∠PEC=∠PFC=∠ECF=90°，
∴四邊形PECF為矩形，
∴PC=EF，
又∵P為BD上任意一點，
∴PA、PC關(guān)于BD對稱，
可以得出，PA=PC，所以EF=AP．
（2）如圖，延長FP交AB于點G，延長AP交EF于點H，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠C=∠ABC=90°，
又∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四邊形PECF為矩形，
同理四邊形BCFG也為矩形，
∴PE=FC=GB，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠GBD=45°，
又∵PG⊥AB，PE⊥BC，
∴四邊形PEBG是正方形
∴PG=BG=PE，
又∵AB=BC=CD，
∴AG=EC=PF，
在△PAG和△EFP中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=PF}\\{∠AGP=∠FPE}\\{PG=PE}\end{array}\right.$，
∴△PAG≌△EFP（SAS），
∴∠APG=∠FEP=∠FPH，
∵∠FEP+∠PFH=90°，
∴∠FPH+∠PFH=90°，
∴AP⊥EF．

點評 此題主要考查了正方形的對稱性，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．