Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為

π

2

，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為M(

2π

3

，-2)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[

π

12

，

π

2

]時(shí)，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由題意知，A=2，

1

2

T=

π

2

，可求得φ，由ω•

2π

3

+φ=2kπ-

π

2

，k∈Z，可求得φ，從而可求f（x）的解析式；
（2）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）即可求得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）由x∈[

π

12

，

π

2

]⇒2x+

π

6

∈[]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得f（x）的值域．

解答：解：（1）由題意知，A=2，

1

2

T=

π

2

，故T=π，
∴ω=

2π

T

=2；
又圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為M（

2π

3

，-2）
∴2×

2π

3

+φ=2kπ-

π

2

，k∈Z，
∴φ=2kπ-

11π

6

=2（k-1）π+

π

6

（k∈Z），而0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

6

；
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

），…（5分）
（2）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）得，kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

（k∈Z）．
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z…（9分）
（3）∵x∈[

π

12

，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

3

，

7π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴-1≤f（x）≤2．
即f（x）的值域?yàn)閇-1，2]．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．