Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點．
（1）求異面直線CD和PB所成角大小；
（2）求直線CD和平面ABE所成角大小．

Answer 1

解：由題意，分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸．設(shè)PA=a，則
P（0，0，a），B（a，0，0），，
（1）設(shè)異面直線CD和PB所成角為α

∴
∴異面直線CD和PB所成角為
（2）設(shè)直線CD和平面ABE所成角為β
PA=AB=BC，∠ABC=60°，故PA=AC，E是PC的中點，故AE⊥PC，
PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．
又CD⊥AC，PA∩AC=A，故CD⊥面PAC，AE⊆面PAC，故CD⊥AE．
從而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．易知BA⊥PD，故PD⊥面ABE．
∵，∴
∴直線CD和平面ABE所成角為．
分析：分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系
（1）設(shè)異面直線CD和PB所成角為α，用向量表示CD和PB，再利用公式可求．
（2）先求平面ABE的法向量，再利用公式求解．
點評：本題以四棱錐為載體，主要考查線線角，線面角，關(guān)鍵是建立空間直角坐標系，利用向量的方法求解．