Question

定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：①對(duì)任意x，y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)；②當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f（x）＞0．
（Ⅰ）判斷f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并說明理由；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，并說明理由；
（Ⅲ）若

f(

1

5

) =-

1

2

，試求f(

1

2

)-f(

1

11

)-f(

1

19

)的值．

Answer 1

分析：（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性：①判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，②判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系．
（2）證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性，利用定義，分五步①設(shè)元，②作差，③變形，④判號(hào)，⑤下結(jié)論．
（3）利用題中所給的等式，把要求的已知的相結(jié)合，逐步求出要求的值．

解答：解：（Ⅰ）令x=y=0⇒f（0）=0．
令y=-x，則f（x）+f（-x）=0⇒f（-x）=-f（x）⇒f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)．
（Ⅱ）設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，則f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(

x1-x2

1-x1x2

)，
而x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1⇒

x1-x2

1-x1x2

＜0．
∴f(

x1-x2

1-x1x2

)＞0．即　當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1 ）上單調(diào)遞減．
（Ⅲ）由于f(

1

2

)-f(

1

5

)=f(

1

2

)+f(-

1

5

)=f(

1 2 - 1 5

1- 1 2×5

)=f(

1

3

)，
f(

1

3

)-f(

1

11

)=f(

1

4

)，f(

1

4

)-f(

1

19

)=f(

1

5

)，
∴f(

1

2

) -f(

1

11

) -f(

1

19

) =2f(

1

5

) =-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，與具體函數(shù)的證明方法相同，做題一定要抓牢定義，特別是證明題，一切方法源根本，屬中檔題．