Question

如圖1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中點(diǎn).如圖2，將△ABE沿AE折起，使二面角BAEC成直二面角，連結(jié)BC，BD，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，P是棱BC的中點(diǎn).

           

圖1                                圖2

(1)求證：AE⊥BD；

(2)求證：平面PEF⊥平面AECD；

 (3)判斷DE能否垂直于平面ABC,并說(shuō)明理由.

Answer 1

(1)證明：連結(jié)BD，取AE中點(diǎn)M，連結(jié)BM,DM.

∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中點(diǎn),

∴△ABE與△ADE都是等邊三角形.∴BM⊥AE,DM⊥AE.

∵BM∩DM=M,BM,DM?平面BDM,

∴AE⊥平面BDM.

∵BD平面BDM,∴AE⊥BD.

(2)證明：連結(jié)CM交EF于點(diǎn)N，連結(jié)PN,

∵M(jìn)E∥FC，且ME=FC,∴四邊形MECF是平行四邊形.

∴N是線段CM的中點(diǎn).

∵P是線段BC的中點(diǎn),∴PN∥BM.

∵BM⊥平面AECD,∴PN⊥平面AECD.

又∵PN平面PEF,∴平面PEF⊥平面AECD.

(3)解:DE與平面ABC不垂直.

證明：假設(shè)DE⊥平面ABC，則DE⊥AB,

∴BM⊥平面AECD.∴BM⊥DE.

∵AB∩BM=B，AB,BM平面ABE,∴DE⊥平面ABE.

∴DE⊥AE，這與∠AED=60°矛盾.

∴DE與平面ABC不垂直.