Question

已知函數(shù)f（x）=x³-

1

2

x²+bx+c．
（1）若f（x）在R上單調(diào)遞增，求b的取值范圍；
（2）若f（x）在x=1時取得極值，且x∈[-1，2]時，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出f（x）的導數(shù)，令導數(shù)大于等于0恒成立，令導函數(shù)的判別式大于等于0，求出b的范圍．
（2）當x∈[-1，2]時，則f（x）＜c²恒成立?f（x）_max＜c²，利用導數(shù)求出f（x）_max即可解出．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-x+b，
∵f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，∴f'（x）≥0恒成立．
∴△=1-12≤0，解得b≥

1

12

∴b 的取值范圍為[

1

12

，+∞）．
（2）∵f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=0，∴3-1+b=0，得b=-2．
∴f′（x）=3x²-x-2．
令f′（x）=0，得x₁=-

2

3

，x₂=1．
列表如下：

x	[-1，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，2]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知：當x=-

2

3

時，函數(shù)f（x）取得極大值f（-

2

3

）=

22

27

，而區(qū)間端點處的f（2）=2+c，
∴函數(shù)f（x）的最大值為2+c．
∴2+c＜c²，解得c＞2或c＜-1． 
∴c的取值范圍是c＞2或c＜-1．

點評：解決函數(shù)的單調(diào)性已知求參數(shù)的范圍問題，一般令導函數(shù)大于等于0恒成立或小于等于0恒成立；解決不等式恒成立常分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．