Question

已知a＞0，bR，函數(shù)．
(Ⅰ)證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，
(ⅰ)函數(shù)的最大值為|2a－b|﹢a；
(ⅱ) ＋|2a－b|﹢a≥0；
(Ⅱ) 若﹣1≤≤1對(duì)x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ) 見(jiàn)解析；
(Ⅱ) ．

本題主要考察不等式，導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性，線性規(guī)劃等知識(shí)點(diǎn)及綜合運(yùn)用能力。
(Ⅰ)
(ⅰ)．
當(dāng)b≤0時(shí)，＞0在0≤x≤1上恒成立，
此時(shí)的最大值為：＝|2a－b|﹢a；
當(dāng)b＞0時(shí)，在0≤x≤1上的正負(fù)性不能判斷，
此時(shí)的最大值為：
＝|2a－b|﹢a；
綜上所述：函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a－b|﹢a；
(ⅱ) 要證＋|2a－b|﹢a≥0，即證＝﹣≤|2a－b|﹢a．
亦即證在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a，
∵，∴令．
當(dāng)b≤0時(shí)，＜0在0≤x≤1上恒成立，
此時(shí)的最大值為：＝|2a－b|﹢a；
當(dāng)b＜0時(shí)，在0≤x≤1上的正負(fù)性不能判斷，


≤|2a－b|﹢a；
綜上所述：函數(shù)在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a．
即＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a－b|﹢a，
且函數(shù)在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a－b|﹢a)要大．
∵﹣1≤≤1對(duì)x[0，1]恒成立，
∴|2a－b|﹢a≤1．
取b為縱軸，a為橫軸．
則可行域?yàn)椋?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823215253016719.png" style="vertical-align:middle;" />和，目標(biāo)函數(shù)為z＝a＋b．
作圖如下：
由圖易得：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為z＝a＋b過(guò)P(1，2)時(shí)，有，．
∴所求a＋b的取值范圍為：．