Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞1）的焦距為2c，直線l過點(diǎn)（b，0）和（0，c）
（1）若b=2，c=3，求此橢圓的準(zhǔn)線方程；
（2）若點(diǎn)（1，0）到直線l的距離與點(diǎn)（-1，0）到直線l的距離之和為s≥

4

5

a，求橢圓的離心率e的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用a²=b²+c²，求出a，利用x=±

a2

c

，可得橢圓的準(zhǔn)線方程；
（2）求出點(diǎn)（1，0）到直線l的距離與點(diǎn)（-1，0）到直線l的距離之和，利用s≥

4

5

a，建立不等式，即可求橢圓的離心率e的取值范圍．

解答： 解：（1）∵b=2，c=3，
∴a²=b²+c²=13，
∴橢圓的準(zhǔn)線方程為x=±

a2

c

=±

13

3

．
（2）直線l的方程為

x

b

+

y

c

=1，即cx+by-bc=0，
由點(diǎn)到直線的距離公式，且b＞1，得點(diǎn)（1，0）到直線l的距離d1=

c(b-1)

c2+b2

．
同理得點(diǎn)點(diǎn)（-1，0）到直線l的距離d2=

c(b+1)

c2+b2

．
∴s=d₁+d₂=

2cb

c2+b2

=

2cb

a

，
由s≥

4

5

a，得

2cb

a

≥

4

5

a，即5c

a2-c2

≥2a2，
∴25c²（a²-c²）≥4a⁴，
∴25e⁴-25e²+4≤0，
∴

1

5

≤e2≤

4

5

，
∵0＜e＜1，
∴

5

5

≤e≤

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查幾何性質(zhì)，考查解不等式，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．