Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

mx²-2x+3mx（m∈R）．
（1）若m=1，f（x）在[0，4]上的最值；
（2）若m≤0，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（x）=

1

3

 (x+

3

2

)2-

3

4

 在[0，4]上是增函數(shù)，從而求得f（x）在[0，4]上的最值．
（2）若m=0，f（x）=-2x，顯然函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)．若m＜0，根據(jù)函數(shù)f（x）=

1

3

mx²-2x+3mx 的對稱軸方程，求得f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）若m=1，則f（x）=

1

3

x²+x=

1

3

 (x+

3

2

)2-

3

4

 在[0，4]上是增函數(shù)，
故當(dāng)x=0時，f（x）取得最小值為0，當(dāng)x=4時，f（x）取得最大值為

28

3

．
（2）若m=0，f（x）=-2x，顯然函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)．
若m＜0，由于函數(shù)f（x）=

1

3

mx²-2x+3mx 的對稱軸為 x=

3

m

-

9

2

＜-

9

2

，
故函數(shù)f（x）在（-∞，

3

m

-

9

2

） 上是減函數(shù)，在（

3

m

-

9

2

，+∞）上是增函數(shù)．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．