Question

7．在極坐標系中，曲線C的方程為$ρ=4（cosθ+sinθ）-\frac{6}{ρ}$，以極點O為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系．
（1）求曲線C的參數方程；
（2）在直角坐標系中，點M（x，y）是曲線C上一動點，求x+y的最大值，并求此時點M的直角坐標．

Answer 1

分析 （1）先求出C的直角坐標方程，再求曲線C的參數方程；
（2）利用C的參數方程，結合三角函數知識，求x+y的最大值，并求此時點M的直角坐標．

解答 解：（1）由曲線C的方程為$ρ=4（cosθ+sinθ）-\frac{6}{ρ}$，得ρ²=4ρcosθ+4ρsinθ-6，
即x²+y²-4x-4y+6=0，即（x-2）²+（y-2）²=2．
即曲線C是以點為圓心（2，2），以$\sqrt{2}$為半徑的圓，
則圓的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}cosθ}\\{y=2+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）．
（2）x+y=4+$\sqrt{2}$cosθ+$\sqrt{2}$sinθ=4+2sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
于是當θ=$\frac{π}{4}$時，（x+y）_max=4+2=6，
此時$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}cos\frac{π}{4}=3}\\{y=2+\sqrt{2}sin\frac{π}{4}=3}\end{array}}\right.$，即M（3，3）．

點評 本題考查三種方程的互化，考查參數方程的運用，考查三角函數知識，屬于中檔題．