Question

從原點(diǎn)出發(fā)的某質(zhì)點(diǎn)M，按向量

a

=(0，1)移動(dòng)的概率為

2

3

，按向量

b

=(0，2)移動(dòng)的概率為

1

3

，設(shè)M可到達(dá)點(diǎn)（0，n）（n=1，2，3，…）的概率為P_n．
（1）求P₁和P₂的值；
（2）求證：Pn+2-Pn+1=-

1

3

(Pn+1-Pn)；
（3）求P_n的表達(dá)式．

Answer 1

（1）P₁=

2

3

，P2=(

2

3

)2+

1

3

=

7

9

（2）證明：M點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)（0，n+2）有兩種情況
①從點(diǎn)（0，n+1）按向量

a

=（0，1）移動(dòng)
②從點(diǎn)（0，n）按向量

b

=（0，2）移動(dòng)
∴Pn+2=

2

3

Pn+1+

1

3

Pn
∴Pn+2-Pn+1=-

1

3

 (Pn+1-Pn)
問題得證．
（3）數(shù)列{P_n+1-P_n}是以P₂-P₁為首項(xiàng)，-

1

3

為公比的等比數(shù)列
Pn+1-Pn=(P2-P1)(-

1

3

)n-1=

1

9

(-

1

3

)n-1=(-

1

3

)n+1
∴P_n-P_n-1=(-

1

3

)n
又因?yàn)镻_n-P₁=（P_n-P_n-1）+（P_n-1-P_n-2）+…+（P₂-P₁）
=(-

1

3

)n+(-

1

3

)n-1+…+(-

1

3

)2
=

1

12

[1-(-

1

3

)n-1]
∴P_n=P_n-P₁+P₁
∴Pn=

1

4

×(-

1

3

)n+

3

4

．