Question

將函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象向右平移

π

4

后得到g（x）圖象，已知g（x）的部分圖象如圖所示，該圖象與y軸相交于點(diǎn)F（0，1），與x軸相交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)M為最高點(diǎn)，且S_△MBC=

π

2

．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的解析式，并判斷（-

5π

6

，0）是否是g（x）的一個(gè)對稱中心；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，g（A）=1，且a=

5

，求S_△ABC的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用S_△MBC=

π

2

，確定周期，可得ω，利用g（0）=2sin（φ-

π

2

）=1，可求φ的值，盡快求函數(shù)g（x）的解析式，代入（-

5π

6

，0），即可判斷（-

5π

6

，0）是否是g（x）的一個(gè)對稱中心；
（Ⅱ）先求出A，再由余弦定理可得5=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥bc，即可求S_△ABC的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象向右平移

π

4

后得到g（x）圖象，
∴g（x）=2sin[（ω（x-

π

4

）+φ]，
∵S_△MBC=

π

2

，∴|BC|=

T

2

=

π

2

，
∴T=π，即ω=2，
∵g（0）=2sin（φ-

π

2

）=1，且-

π

2

＜φ-

π

2

＜

π

2

，
∴φ-

π

2

=

π

6

，
∴φ=

2π

3

，
∴g（x）=2sin[（2（x-

π

4

）+

2π

3

]=2sin（2x+

π

6

），
∵g（-

5π

6

）=2sin[2•（-

5π

6

）+

π

6

]=-2≠0，
∴（-

5π

6

，0）不是g（x）的一個(gè)對稱中心；
（Ⅱ）∵g（A）=2sin（2A+

π

6

）=1，2A+

π

6

∈（

π

6

，

13π

6

），
∴2A+

π

6

=

5π

6

，
∴A=

π

3

，
由余弦定理可得5=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥bc，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA≤

5 3

4

，
∴S_△ABC的最大值為

5 3

4

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查余弦定理的運(yùn)用，考查基本不等式，確定函數(shù)的解析式，正確運(yùn)用基本不等式是關(guān)鍵．