已知在數(shù)列{an}中，an≠0，（n∈N*）．求證：“{an}是常數(shù)列”的充要條件是“{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”．
分析：先證明必要性：若{an}是常數(shù)列，且an=a≠0，證數(shù)列{an}是等差數(shù)列
充分性：若{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則有：
2an+1=an+an+2
an+12= anan+2
，整理可證為常數(shù)
解答：證明：必要性：若{an}是常數(shù)列，且an≠0，（n∈N*）．
設(shè)an=a≠0（n∈N*），
顯然數(shù)列{an}是以a為首項(xiàng)，以0為公差的等差數(shù)列，且{an}是以a為首項(xiàng)，以1為公比的等比數(shù)列．
充分性：若{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則對任意n∈N*都有：
2an+1=an+an+2
an+12= anan+2
，可得(
an+an+2
2
)2 =anan+2，整理得(an-an+2) 2=0，
∴an=an+2=an+1．∴{an}是常數(shù)列．
綜上所述，“{an}是非零常數(shù)列”的充要條件是“{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”．
點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的判斷，充分條件與必要條件的判斷，屬于知識的簡單應(yīng)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2=an(Sn-
1
2
)．
（Ⅰ） 求Sn的表達(dá)式；
（Ⅱ） 設(shè)bn=
Sn
2n+1
，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在數(shù)列{an}中，a1=7，an+1=
7anan+7
，計(jì)算這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，并猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•河北區(qū)一模）已知在數(shù)列{an}中，Sn是前n項(xiàng)和，滿足Sn+an=n，（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）令bn=（2-n）（an-1）（n=1，2，3，…），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在數(shù)列{an}中，a1=
1
2
，Sn是其前n項(xiàng)和，且Sn=n2an-n（n-1）．
（1）證明：數(shù)列{
n+1
n
Sn}是等差數(shù)列；
（2）令bn=（n+1）（1-an），記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．
①求證：當(dāng)n≥2時(shí)，Tn2＞2(
T2
2
+
T3
3
+…+
Tn
n
)；
②）求證：當(dāng)n≥2時(shí)，bn+1+bn+2+…+b2n＜
4
5
-
1
2n+1
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案