Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₁=8，a₅=0．?dāng)?shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為Sn=2n-1-

1

2

(n∈N*)
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令cn=2an，試問：是否存在正整數(shù)n，使不等式b_nc_n+1＞b_n+c_n成立？若存在，求出相應(yīng)n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）∵已知{a_n}為等差數(shù)列且a₁=8，a₅=0．故求{a_n}的通項(xiàng)公式可使用構(gòu)造方程法，求出公差d及首項(xiàng)即可，而數(shù)列{b_n}，已知其前n項(xiàng)和為Sn=2n-1-

1

2

(n∈N*)，故{b_n}的通項(xiàng)公式可用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

來解答．
（2）由（1）的結(jié)論，我們可以先寫出c_n的通項(xiàng)公式，再結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性從n=1開始對(duì)b_nc_n+1＞b_n+c_n進(jìn)行分類討論，即可得到答案．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₅=a₁+4d₁，得d₁=-2，
得a_n=-2n+10．
由數(shù)列{b_n}的前n和為Sn=2n-1-

1

2

(n∈N*)
可知，當(dāng)n=1時(shí)，b1=S1=

1

2

，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=2^n-2，b_n=2^n-2當(dāng)n=1時(shí)，得b1=

1

2

，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=-2n+10，
{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=2^n-2．
（2）假設(shè)存在正整數(shù)n使不等式b_nc_n+1＞b_n+c_n成立，
即要滿足（c_n-1）（b_n-1）＞0，
由cn=2an=210-2n=45-n，b_n=2^n-2，
所以數(shù)列{c_n}單調(diào)減，數(shù)列{b_n}單調(diào)增，
①當(dāng)正整數(shù)n=1，2時(shí)，2^n-2-1≤0，
所以b_nc_n+1＞b_n+c_n不成立；
②當(dāng)正整數(shù)n=3，4時(shí)，c_n-1＞0，b_n-1＞0，
所以b_nc_n+1＞b_n+c_n成立；
③當(dāng)正整數(shù)n≥5時(shí)，c_n-1≤0，b_n-1＞0，
所以b_nc_n+1＞b_n+c_n不成立．
綜上所述，存在正整數(shù)n=3，4時(shí)，
使不等式b_nc_n+1＞b_n+c_n成立．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列的通項(xiàng)a_n與前n項(xiàng)和S_n的關(guān)系是an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

．已知a_n求S_n時(shí)方法千差萬別，但已知S_n求a_n時(shí)方法卻是高度統(tǒng)一．當(dāng)n≥2時(shí)求出a_n也適合n=1時(shí)的情形，可直接寫成a_n=S_n-S_n-1，否則分段表示．