【題目】在平面直角坐標系中,橢圓的離心率為,直線被橢圓截得的線段長為.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)過原點的直線與橢圓交于兩點(不是橢圓的頂點),點在橢圓上,且.直線軸、軸分別交于,兩點.設直線的斜率分別為,,證明存在常數(shù)使得,并求出的值.

【答案】(1)(2)

【解析】試題分析:(1)甶橢圓離心率得到 的關(guān)系,化簡橢圓方程,和直線方程聯(lián)立后求出交點的橫坐標,把弦長用交點橫坐標表示,則 的值可求,進一步得到 的值,則橢圓方程可求;(2)設出 的坐標分別為 的坐標表示 的坐標,把的斜率都用的坐標表示,寫出直線的方程,和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到橫縱坐標的和,求出中點坐標,則 斜率可求,再寫出所在直線方程,取 得到 點坐標,由兩點求斜率得到 的斜率,由兩直線斜率的關(guān)系得到 的值;

試題解析:(Ⅰ)∵,∴,,∴.①

設直線與橢圓交于兩點,不妨設點為第一象限內(nèi)的交點.∴,∴代入橢圓方程可得.②

由①②知,,所以橢圓的方程為:.

(Ⅱ)設,則,直線的斜率為,又,故直線的斜率為.設直線的方程為,由題知

,聯(lián)立,得.

,,由題意知,

,直線的方程為.

,得,即,可得,∴,即.

因此存在常數(shù)使得結(jié)論成立.

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