Question

某種細胞開始有2個，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去1個，…，按照這種規(guī)律進行下去．設(shè)n小時后細胞的個數(shù)為a_n（n∈N）．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）求

n

i=0

ai=a0+a1+a2+…+an的表達式．

Answer 1

（I）由題意可知：a₀=2，a_n=2a_n-1-1，即a_n-1=2（a_n-1-1），
∴數(shù)列{a_n-1}構(gòu)成以a₀-1=1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n-1=（a₀-1）•2ⁿ=2ⁿ，
則a_n=2ⁿ+1；
（II）∵a₀=2，a_n=2ⁿ+1，
∴

n

i=0

ai=a0+a1+a2+…+an
=2+（2+1）+（2²+1）+…+（2ⁿ+1）
=（1+1+…+1）+（1+2+2²+…+2ⁿ）
=（n+1）+（1+2+2²+…+2ⁿ）
=n+1+

1-2n

1-2

=2ⁿ+n．