設(shè)已知點(diǎn)A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),α∈(
π
2
,
2
)

(Ⅰ)若|
AC
|=|
BC
|
,求角α的值;
(Ⅱ)若
AC
BC
=-1
,求
2cos2α+sin2α
1+cotα
的值.
分析:(Ⅰ)解法一,依題意,由|
AC
|
=|
BC
|
,可求得cosα=sinα,結(jié)合題意可求得角α的值;
解法二,由|
AC
|
=|
BC
|
,可知點(diǎn)C在直線y=x上,而α∈(
π
2
2
),可求得角α的值;
(Ⅱ)由
AC
BC
=-1,可求得sinα+cosα=
2
3
,將所求關(guān)系式切化弦后得
2cos2α+sin2α
1+cotα
=2sinαcosα,利用(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα即可求得答案.
解答:解:(Ⅰ)解法一:∵A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),
AC
=(cosα-3,sinα),
BC
=(cosα,sinα-3).  …(2分)
|
AC
|
=|
BC
|
,得
(cosα-3)2+sin2α
=
cos2α+(sinα-3)2

即cosα=sinα.                          …(4分)
π
2
<α<
2
,
∴α=
4
.…(6分)
解法二:∵|
AC
|
=|
BC
|
,
∴點(diǎn)C在直線y=x上.…(3分)
則sinα=cosα.  …(4分)
∵α∈(
π
2
2
),
∴α=
4
.…(6分)
(Ⅱ)
2cos2α+sin2α
1+cotα
=
2cos2α+2sinαcosα
1+
cosα
sinα

=
2cosα(cosα+sinα)
sinα+cosα
sinα
=2sinαcosα.…(8分)
AC
BC
=-1,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1.…(10分)
即 sinα+cosα=
2
3

∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=
4
9
,即2sinαcosα=-
5
9
. …(12分)
2cos2α+sin2α
1+cotα
=-
5
9
.…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查綜合分析與運(yùn)算的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),已知點(diǎn)A(3 , 
3
)
,點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足
3
x-y≤0
x-
3
y+2≥0
y≥0
,設(shè)z為
OA
OP
上的投影,則z的取值范圍是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)M(-3,0),N(3,0),設(shè)P(x,y)是曲線
|x|
5
+
|y|
4
=1
上的點(diǎn),則下列式子恒成立的是( 。
A、|PM|+|PN|=10
B、|PM|-|PN|=10
C、|PM|+|PN|≥10
D、|PM|+|PN|≤10

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:江蘇省贛榆高級(jí)中學(xué)2007-2008學(xué)年度高三第三次階段考試數(shù)學(xué)試題(理) 題型:044

已知點(diǎn)A(3,0),B(0,3),C(cosx,sinx),x∈R

(1)若,且x∈[0,2π),求x的值

(2)設(shè)函數(shù),求f(x)的最大值,并求使f(x)取得最大值時(shí)x的值

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)已知點(diǎn)A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),α∈(
π
2
,
2
)

(Ⅰ)若|
AC
|=|
BC
|
,求角α的值;
(Ⅱ)若
AC
BC
=-1
,求
2cos2α+sin2α
1+cotα
的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案