Question

已知f（x）=

a(x-1)(x-3)

（a＜0），定義域?yàn)镈，任意m，n∈D，點(diǎn)P（m，f（n））組成的圖形為正方形，則實(shí)數(shù)a的值為（　�。�

• A、-1
• B、-2
• C、-3
• D、-4

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：求出函數(shù)的定義域，根據(jù)任意m，n∈D，點(diǎn)P（m，f（n））組成的圖形為正方形，得到函數(shù)的最大值為2，解方程即可得到結(jié)論．

解答：解：要使函數(shù)有意義，則a（x-1）（x-3）≥0，
∵a＜0，
∴不等式等價(jià)為（x-1）（x-3）≤0，即1≤x≤3，
∴定義域D=[1，3]，
∵任意m，n∈D，點(diǎn)P（m，f（n））組成的圖形為正方形，
∴正方形的邊長為2，
∵f（1）=f（3）=0，
∴函數(shù)的最大值為2，
即a（x-1）（x-3）的最大值為4，
設(shè)f（x）=a（x-1）（x-3）=ax²-4ax+3a，
∴當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=-a=4，
即a=-4，
故選：D．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)定義域和值域的求解和應(yīng)用，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．