Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都為正數(shù)，且對(duì)任意n∈N*，a_2n－1，a_2n，a_2n＋1成等差數(shù)列，

a_2n，a_2n＋1，a_2n＋2成等比數(shù)列．

（1）若a₂＝1，a₅＝3，求a₁的值；

（2）設(shè)a₁＜a₂，求證：對(duì)任意n∈N*，且n≥2，都有．

Answer 1

解：（1）解法一：因?yàn)?i>a₃，a₄，a₅成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則a₃＝3－2d，a₄＝3－d．

因?yàn)?i>a₂，a₃，a₄成等比數(shù)列，所以a₂＝＝．   

因?yàn)?i>a₂＝1，所以＝1，解得d＝2，或d＝．因?yàn)?i>a_n＞0，所以d＝．                              

因?yàn)?i>a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，所以a₁＝2a₂－a₃＝2－(3－2d)＝．

解法二：因?yàn)?i>a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，a₂，a₃，a₄成等比數(shù)列，a₃，a₄，a₅成等差數(shù)列，

則，

則，解得或（舍），所以。

解法三：因?yàn)?i>a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，則，

因?yàn)?i>a₂，a₃，a₄成等比數(shù)列，則

因?yàn)?i>a₃，a₄，a₅成等差數(shù)列，則，則

解得：或；當(dāng)時(shí)，（與矛盾，故舍去），所以．

 （注：沒有舍去一解，扣1分）

（2）證法一：因?yàn)?i>a_2n－1，a_2n，a_2n＋1成等差數(shù)列，a_2n，a_2n＋1，a_2n＋2成等比數(shù)列，

所以2a_2n＝a_2n－1＋a_2n＋1，①  a＝a_2na_2n＋2．②；所以a＝a_2n－2a_2n，n≥2．③

．          

即數(shù)列{}是等差數(shù)列．

    所以＝＋(n－1)(－)．

由a₁，a₂及a_2n－1，a_2n，a_2n＋1是等差數(shù)列，a_2n，a_2n＋1，a_2n＋2是等比數(shù)列，