Question

某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品時，固定成本為5 000元，而每生產(chǎn)100臺產(chǎn)品時直接消耗成本要增加2 500元，市場對此商品年需求量為500臺，銷售的收入函數(shù)為(萬元)(0≤≤5)，其中是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位：百臺)
(1)把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；
(2)年產(chǎn)量多少時，企業(yè)所得的利潤最大；
(3)年產(chǎn)量多少時，企業(yè)才不虧本？

Answer 1

（1）
（2）當生產(chǎn)475臺時，利潤最大．
（3）企業(yè)年產(chǎn)量在10臺到4 800臺之間時，企業(yè)不虧本．

解：(1)利潤y是指生產(chǎn)數(shù)量x的產(chǎn)品售出后的總收入R(x)與其總成本C(x)之差，由題意，
當x≤5時，產(chǎn)品能全部售出，當x＞5時，只能銷售500臺，所以
＝
(2)在0≤x≤5時，y＝－x²＋4.75x－0.5，當x＝－＝4.75百臺時，y_max＝10.781 25 萬元．
當x＞5 百臺時，y＜12－0.25×5＝10.75 萬元，所以當生產(chǎn)475臺時，利潤最大．
(3)要使企業(yè)不虧本，即要求：或
解得5≥x≥4.75－≈0.1 百臺或5＜x＜48 百臺，即企業(yè)年產(chǎn)量在10臺到4 800臺之間時，企業(yè)不虧本．