Question

（1）求證：當(dāng)a、b、c為正數(shù)時(shí)，（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）≥9
（2）已知x＞0，y＞0，證明不等式：（x²+y²） 

1

2

＞（x³+y³） 

1

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）將不等式左邊展開，根據(jù)a、b、c為正數(shù)，利用基本不等式可證得（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）≥9成立；
（2）所證不等式即：（x²+y²）³＞（x³+y³）²．只需證：x²+y²＞

2

3

xy，即可得出結(jié)論．

解答： 證明：（1）左邊=3+(

a

b

+

b

a

)+(

c

b

+

b

c

)+(

a

c

+

c

a

)≥3+2+2+2=9，
∴(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

)≥9…（6分）
（2）所證不等式即：（x²+y²）³＞（x³+y³）²．
即：x⁶+y⁶+3x²y²（x²+y²）＞x⁶+y⁶+2x³y³，
即：3x²y²（x²+y²）＞2x³y³，
只需證：x²+y²＞

2

3

xy，
∵x²+y²≥2xy＞

2

3

xy成立
∴（x²+y²） 

1

2

＞（x³+y³） 

1

3

                   …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是不等式的證明，其中（1）考查的知識(shí)點(diǎn)是基本不等式，（2）考查的知識(shí)點(diǎn)是分析法證明．