【題目】已知橢圓的左頂點(diǎn)為
,左、右焦點(diǎn)分別為
,離心率為
,
是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與左、右頂點(diǎn)重合),且
的周長(zhǎng)為6,點(diǎn)
關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為
,直線
交于點(diǎn)
.
(1)求橢圓方程;
(2)若直線與橢圓交于另一點(diǎn)
,且
,求點(diǎn)
的坐標(biāo).
【答案】(1);(2)
或
【解析】
(1)根據(jù)的周長(zhǎng)為
,結(jié)合離心率,求出
,即可求出方程;
(2)設(shè),則
,求出直線
方程,若
斜率不存在,求出
坐標(biāo),直接驗(yàn)證是否滿足題意,若
斜率存在,求出其方程,與直線
方程聯(lián)立,求出點(diǎn)
坐標(biāo),根據(jù)
和
三點(diǎn)共線,將點(diǎn)
坐標(biāo)用
表示,
坐標(biāo)代入橢圓方程,即可求解.
(1)因?yàn)闄E圓的離心率為,
的周長(zhǎng)為6,
設(shè)橢圓的焦距為,則
解得,
,
,
所以橢圓方程為.
(2)設(shè),則
,且
,
所以的方程為
①.
若,則
的方程為
②,由對(duì)稱性不妨令點(diǎn)
在
軸上方,
則,
,聯(lián)立①,②解得
即
.
的方程為
,代入橢圓方程得
,整理得
,
或
,
.
,不符合條件.
若,則
的方程為
,
即③.
聯(lián)立①,③可解得所以
.
因?yàn)?/span>,設(shè)
所以,即
.
又因?yàn)?/span>位于
軸異側(cè),所以
.
因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線,即
應(yīng)與
共線,
所以,即
,
所以,又
,
所以,解得
,所以
,
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為
或
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓
(
),圓
(
),若圓
的一條切線
與橢圓
相交于
兩點(diǎn).
(1)當(dāng),
時(shí),若點(diǎn)
都在坐標(biāo)軸的正半軸上,求橢圓
的方程;
(2)若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)
,探究
是否滿足
,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為
,直線
與拋物線
交于
,
兩點(diǎn),過(guò)這兩點(diǎn)分別作拋物線
的切線,且這兩條切線相交于點(diǎn)
.
(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為
,求
的值;
(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為
,過(guò)
的直線
與線段
為直徑的圓相切,切點(diǎn)為
,且直線
與拋物線
交于
,
兩點(diǎn),求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程是
(
是參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線
的極坐標(biāo)方程為
,其傾斜角為
.
(Ⅰ)證明直線恒過(guò)定點(diǎn)
,并寫(xiě)出直線
的參數(shù)方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若直線與曲線
交于
,
兩點(diǎn),求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足
,
.
(1)求;
(2)若,證明:數(shù)列
中的任意三項(xiàng)不可能構(gòu)成等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線上一點(diǎn)
到焦點(diǎn)
的距離
.
(1)求拋物線的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)引圓
的兩條切線
,切線
與拋物線
的另一交點(diǎn)分別為
,線段
中點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知直四棱柱的底面是直角梯形,
,
,
,
分別是棱
,
上的動(dòng)點(diǎn),且
,
,
.
(1)證明:無(wú)論點(diǎn)怎樣運(yùn)動(dòng),四邊形
都為矩形;
(2)當(dāng)時(shí),求幾何體
的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若函數(shù)在
處取得極值1,證明:
(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4,離心率為
,斜率不為0的直線
與橢圓相交于
,
兩點(diǎn)(
,
異于橢圓的頂點(diǎn)),且以
為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線是否過(guò)定點(diǎn),如果過(guò)定點(diǎn),求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);如果不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.
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