Question

在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是A₁B₁和B₁B的中點．
（1）求直線AM和CN所成角的大��；
（2）若P為B₁C₁的中點，求證：B₁D⊥平面PMN；
（3）求點A到平面PMN的距離．

Answer 1

（1）如圖，將AM平移到B₁E，NC平移到B₁F，則∠EB₁F為直線AM與CN所成角或其補角


設邊長為2，則B₁E=B₁F=

5

，EF=

6

∴由余弦定理得cos∠EB₁F=

2

5

，
即直線AM和CN所成角的大小為arccos

2

5

（2）根據中位線定理可知MN∥A₁B，NP∥C₁B
∴MN∥平面A₁C₁B，NP∥平面A₁C₁B，MN∩NP=P
∴平面A₁C₁B∥平面MNP，
而B₁D⊥平面A₁C₁B，
所以B₁D⊥面PMN；
（3）S_△MNP=

3

2

，S_△MNA=

3

2

設點A到平面PMN的距離為h
∴V_A-MNP=V_P-MNA
即

1

3

S_△MNPh=

1

3

S_△MNA×1
∴h=

3