如圖，在四棱錐P – ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA^底面ABCD，點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)，AM^平面PBD.

⑴求PA的長(zhǎng)；

⑵求棱PC與平面AMD所成角的正弦值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解 如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,a).

因?yàn)?i>M是PC中點(diǎn),所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為(,,)，所以 = (,,)， = (–1,1,0)， = ( – 1,0,a).

⑴因?yàn)閊平面PBD,所以· = · = 0.即

 –  +  = 0,所以a = 1,即PA = 1. ………………………………………4分

⑵由 = (0,1,0), = (,,),可求得平面AMD的一個(gè)法向量n = ( – 1,0,1).又 = ( – 1,–1,1).所以cos<n, > =  =  = .

所以,PC與平面AMD所成角的正弦值為.……………………………10分

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，E為棱PC上異于C的一點(diǎn)，DE⊥BE．
（1）證明：E為PC的中點(diǎn)；
（2）求二面角P-DE-A的大小．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E點(diǎn)滿足
PE
=
1
3
PD
．
（1）證明：PA⊥平面ABCD．
（2）在線段BC上是否存在點(diǎn)F，使得PF∥平面EAC？若存在，確定點(diǎn)F的位置，若不存在請(qǐng)說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•南通三模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，四條側(cè)棱長(zhǎng)均相等．
（1）求證：AB∥平面PCD；
（2）求證：平面PAC⊥平面ABCD．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，并且PD=，PA=PC=
2
a．
（1）求證：PD⊥平面ABCD；
（2）求異面直線PB與AC所成的角；
（3）求二面角A-PB-D的大�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面四邊形ABCD為直角梯形，∠B=∠C=90°，AB=3CD，∠PBC=30°，點(diǎn)M是PB上的動(dòng)點(diǎn)，且
PM
PB
=λ（λ∈[0，1]）．
（1）當(dāng)λ=
1
3
時(shí)，證明CM∥平面PAD；
（2）當(dāng)平面MCD⊥平面PAB時(shí)，求λ的值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案