Question

【題目】已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，設(shè)離心率為，且滿足，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)（0,1）的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦半距為c，結(jié)合題意分析可得，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)可得a、b的值，代入橢圓的方程即可得答案；

（Ⅱ）由題意分析可得直線l與x軸不垂直，設(shè)其方程為y=kx+1，聯(lián)立l與橢圓C的方程，可得（4k2+3）x2+8kx﹣8=0，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可以用k表示|MN|與O到l的距離，由三角形面積公式計(jì)算可得△OMN的面積 .，由基本不等式分析可得答案．

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦半距為，則，，.

所以，其中，又，聯(lián)立解得，.

所以橢圓的方程是.

（Ⅱ）由題意直線不能與軸垂直，否則將無法構(gòu)成三角形.

當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)其斜率為，那么的方程為.

聯(lián)立與橢圓的方程，消去，得.

于是直線與橢圓由兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是，這顯然成立.

設(shè)點(diǎn)，.

由根與系數(shù)的關(guān)系得，.

所以 ，又到的距離.

所以的面 .

令，那么 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

所以面積的最大值是.