Question

（本小題共14分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點(diǎn)，．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）點(diǎn)在線段上，，試確定的值，使平面；
（Ⅲ）若平面，平面平面，求二面角的大小．

Answer 1

證明：（Ⅰ）連接 ．
因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823205733237524.png" style="vertical-align:middle;" />為菱形，，
所以△為正三角形．又為中點(diǎn)，
所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823205733767495.png" style="vertical-align:middle;" />,為的中點(diǎn)，
所以．
又，
所以平面．                           ………………4分
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，∥平面．
下面證明：
連接交于，連接．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823205734095418.png" style="vertical-align:middle;" />∥，
所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823205733939367.png" style="vertical-align:middle;" />∥平面，平面，平面平面，
所以∥.
所以．
所以，即．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823205734329736.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以．
所以，
所以∥.
又平面，平面，
所以∥平面．                                …………9分
（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823205734594575.png" style="vertical-align:middle;" />，
又平面平面，交線為，
所以平面．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直
角坐標(biāo)系．

由===2，
則有，，．
設(shè)平面的法向量為=，
由，
且，，
可得
令得．
所以=為平面的一個(gè)法向量．
取平面的法向量=，
則，
故二面角的大小為60°．                   …………14分

本題考查線面垂直和二面角、探索性問(wèn)題等綜合問(wèn)題�？疾閷W(xué)生的空間想象能力。線面垂直的證明方法：（1）線面垂直的定義；（2）線面垂直的判斷定理；（3）面面垂直的性質(zhì)定理；（4）向量法：證明這個(gè)直線的方向向量和這個(gè)平面的法向量相互平行.
線面垂直的證明思考途徑：線線垂直線面垂直面面垂直.本題第一問(wèn)利用方法二進(jìn)行證明；探求某些點(diǎn)的具體位置，使得線面滿足垂直關(guān)系，是一類逆向思維的題目.一般可采用兩個(gè)方法：一是先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論；二是運(yùn)用推理證明計(jì)算得出結(jié)論，或先利用條件特例得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計(jì)算.本題第二問(wèn)主要采用假設(shè)存在點(diǎn)，然后確定線面平行的性質(zhì)進(jìn)行求解. 本題第三問(wèn)利用向量法求解二面角.