Question

如圖（1），在三角形ABC中，BA=BC=2

2

，∠ABC=90°，點O，M，N分別為線段的中點，將ABO和MNC分別沿BO，MN折起，使平面ABO與平面CMN都與底面OMNB垂直，如圖（2）所示．
（1）求證：AB∥平面CMN；
（2）求平面ACN與平面CMN所成角的余弦；
（3）求點M到平面ACN的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）證明OB∥平面CMN、OA∥平面CMN，可得平面OAB∥平面CMN，從而可證明AB∥平面CMN；
（2）分別以OB，OM，OA為x，y，z軸建立坐標系，求出平面ANC的法向量、平面CMN的法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面ACN與平面CMN所成角的余弦；
（3）求出

MC

=(0，0，1)，即可求點M到平面ACN的距離．

解答： （1）證明：∵OB∥MN，OB?平面CMN，MN?平面CMN，
∴OB∥平面CMN；
∵OA∥MC，OA?平面CMN，MC?平面CMN，
∴OA∥平面CMN，
∵OA∩OB=O，∴平面OAB∥平面CMN，
又AB?平面OAB，
∴AB∥平面CMN…（4分）
（2）解：分別以OB，OM，OA為x，y，z軸建立坐標系，
則A（0，0，2），B（2，0，0），M（0，1，0），C（0，1，1），N（1，1，0），
∴

AC

=(0，1，-1)，

NC

=(-1，0，1)，
設平面ANC的法向量為

n

=(x，y，z)，
則有

n • AC =y-z=0 n • NC =-x+z=0

，
令x=1，得

n

=(1，1，1)，
而平面CMN的法向量為：

OM

=

n1

=(0，1，0)，
|cos＜

n

，

n1

＞|=

n • n1

| n| •| n1 |

=

3

3

…（8分）
（3）解：

MC

=(0，0，1)，
由（2）知平面ANC的法向量為：

n

=(1，1，1)，
∴d=

| MC • n |

| n |

=

3

3

…（12分）

點評：本題考查線面平行的判定，考查空間角與距離，正確運用向量法是解題的關鍵．