Question

4．若曲線f（x）=x²-3x-alnx存在與直線x+y-1=0互相垂直的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件可得切線的斜率為1，再由二次函數(shù)的值域求法即可得到a的范圍．

解答 解：f（x）=x²-3x-alnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x-3-$\frac{a}{x}$，（x＞0），
設(shè)切點(diǎn)為（m，n），則切線的斜率為2m-3-$\frac{a}{m}$（m＞0），
由于曲線上存在與直線x+y-1=0互相垂直的切線，
則2m-3-$\frac{a}{m}$=1（m＞0），
即有a=2（m²-m）=2（m-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$
當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時(shí)，a取得最小值-$\frac{1}{2}$，
則a的取值范圍為[-$\frac{1}{2}$，+∞）．
故答案為：[-$\frac{1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，同時(shí)考查兩直線垂直的條件，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．