Question

若函數(shù)f（x）=-x²+2ax與g（x）=log_（1-a²）（2x-1）在區(qū)間[1，2]上都是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

1. A.
   （-1，0）∪（0，1）
2. B.
   （-1，0）∪（0，1]
3. C.
   （0，1）
4. D.
   （0，1]

Answer 1

A
分析：f（x）=-x²+2ax在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，得[1，2]為其減區(qū)間的子集，從而得a的一個限制條件；
g（x）=log_（1-a²）（2x-1）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，t=2x-1單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法，知y=單調(diào)遞減，且t=2x-1＞0在[1，2]上恒成立，
由此得a的另一限制條件，取其交集即可．
解答：∵f（x）=-x²+2ax的圖象是開口朝下，以x=a為對稱軸的拋物線，
f（x）=-x²+2ax在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，∴a≤1①；
因為g（x）=log_（1-a²）（2x-1）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，t=2x-1單調(diào)遞增，
所以y=單調(diào)遞減，且t=2x-1＞0在[1，2]上恒成立，
故有，解得-1＜a＜0或0＜a＜1②；
綜①②，得-1＜a＜0或0＜a＜1，即實數(shù)a的取值范圍是（-1，0）∪（0，1）．
故選A．
點評：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)、一次、二次函數(shù)的單調(diào)性問題，具有一定綜合性，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法是：同增異減．