Question

5．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若（2a+c）cosB+bcosC=0．
（1）求角B的大小；
（2）若a=3，△ABC的面積為$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，求$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由（2a+c）cosB+bcosC=0．利用正弦定理可得：2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，化簡(jiǎn)即可解出．（2）由a=3，△ABC的面積為$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，可得$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×3c•sin\frac{2π}{3}$，解得c．可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=-cacosB．

解答 解：（1）由（2a+c）cosB+bcosC=0．
利用正弦定理可得：2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，
化為2sinAcosB=-sin（C+B）=-sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=-$\frac{1}{2}$，B∈（0，π）．
解得B=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵a=3，△ABC的面積為$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×3c•sin\frac{2π}{3}$，解得c=2．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=-cacosB=-2×3×$cos\frac{2π}{3}$=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理的應(yīng)用、兩角和差公式、三角形面積計(jì)算公式、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．