【題目】已知橢圓，記為與原點(diǎn)距離等于的全體直線所成的集合.問：是否存在常數(shù)，使得對任意的直線，均存在、，、分別過 與橢圓的交點(diǎn)、，且有？并說明理由.

【答案】

【解析】

假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的常數(shù).取為特殊直線：，且與橢圓交于、兩點(diǎn).

作以原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓與軸的正半軸交于點(diǎn).顯然，圓與直線切于點(diǎn)，且.

依題意，存在直線、，分別過點(diǎn)、，且與圓相切.設(shè)切點(diǎn)分別為、.

則、分別垂直相互平行的直線、.故為圓的直徑.

從而，是梯形的中位線.

由，知，.

因此，點(diǎn)，且，.

又點(diǎn)在橢圓上，由假設(shè)知橢圓方程為.

下面證明：即為所求.

先證明：若，且與橢圓交于點(diǎn)、，則.

設(shè)直線.

則原點(diǎn)到的距離為.

故.

將直線的方程代入橢圓方程得.

設(shè)，.

則由韋達(dá)定理得，

.故

，即.

易證，若直線的斜率不存在，則.

假設(shè)、分別與橢圓交于點(diǎn)與、與.則

，，，且，.

故，即.

綜上，存在唯一滿足題意.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知三個內(nèi)角所對的邊分別是，若.

（1）求角；

（2）若的外接圓半徑為2，求周長的最大值.

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）由正弦定理將邊角關(guān)系化為邊的關(guān)系，再根據(jù)余弦定理求角，（2）先根據(jù)正弦定理求邊,用角表示周長，根據(jù)兩角和正弦公式以及配角公式化為基本三角函數(shù)，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最大值.

試題解析：（1）由正弦定理得，

∴，∴，即

因?yàn)?/span>，則.

（2）由正弦定理

∴， ， ，

∴周長

∵，∴

∴當(dāng)即時

∴當(dāng)時， 周長的最大值為.

【題型】解答題
【結(jié)束】
18

【題目】經(jīng)調(diào)查，3個成年人中就有一個高血壓，那么什么是高血壓？血壓多少是正常的？經(jīng)國際衛(wèi)生組織對大量不同年齡的人群進(jìn)行血壓調(diào)查，得出隨年齡變化，收縮壓的正常值變化情況如下表：

其中： ， ，

（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；（的值精確到0.01）

（3）若規(guī)定，一個人的收縮壓為標(biāo)準(zhǔn)值的0.9~1.06倍，則為血壓正常人群；收縮壓為標(biāo)準(zhǔn)值的1.06~1.12倍，則為輕度高血壓人群；收縮壓為標(biāo)準(zhǔn)值的1.12~1.20倍，則為中度高血壓人群；收縮壓為標(biāo)準(zhǔn)值的1.20倍及以上，則為高度高血壓人群.一位收縮壓為180mmHg的70歲的老人，屬于哪類人群？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地統(tǒng)計(jì)局調(diào)查了10000名居民的月收入，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制了樣本的頻率分布直方圖如圖所示。

（1）求居民月收入在[3000,3500）內(nèi)的頻率；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

（3）為了分析居民的月收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再從這10000中用分層抽樣的方法抽出100人做進(jìn)一步分析，則應(yīng)從月收入在[2500,3000)內(nèi)的居民中抽取多少人？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某縣大潤發(fā)超市為了惠顧新老顧客，決定在2019年元旦來臨之際舉行“慶元旦，迎新年”的抽獎派送禮品活動.為設(shè)計(jì)一套趣味性抽獎送禮品的活動方案，該超市面向該縣某高中學(xué)生征集活動方案.該中學(xué)某班數(shù)學(xué)興趣小組提供的方案獲得了征用.方案如下：將一個的正方體各面均涂上紅色，再把它分割成64個相同的小正方體.經(jīng)過攪拌后，從中任取兩個小正方體，記它們的著色面數(shù)之和為，記抽獎中獎的禮金為.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）凡是元旦當(dāng)天在超市購買物品的顧客，均可參加抽獎.記抽取的兩個小正方體著色面數(shù)之和為6，設(shè)為一等獎，獲得價值50元禮品；記抽取的兩個小正方體著色面數(shù)之和為5，設(shè)為二等獎，獲得價值30元禮品；記抽取的兩個小正方體著色面數(shù)之和為4，設(shè)為三等獎，獲得價值10元禮品，其他情況不獲獎.求某顧客抽獎一次獲得的禮金的分布列與數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在工業(yè)生產(chǎn)中，對一正三角形薄鋼板（厚度不計(jì)）進(jìn)行裁剪可以得到一種梯形鋼板零件，現(xiàn)有一邊長為3（單位：米）的正三角形鋼板（如圖），沿平行于邊的直線將剪去，得到所需的梯形鋼材,記這個梯形鋼板的周長為 （單位：米），面積為（單位：平方米）.

（1）求梯形的面積關(guān)于它的周長的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若在生產(chǎn)中，梯形的面積與周長之比（即）達(dá)到最大值時，零件才能符合使用要求，試確定這個梯形的周長為多時，該零件才可以在生產(chǎn)中使用？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)在的單調(diào)性；

（2）當(dāng)且時，，求函數(shù)在上的最小值；

（3）當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)，，且，求證：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】半期考試后，班長小王統(tǒng)計(jì)了50名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績，繪制頻率分布直方圖如圖所示．

根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這50名同學(xué)的數(shù)學(xué)平均成績；

用分層抽樣的方法從成績低于115的同學(xué)中抽取6名，再在抽取的這6名同學(xué)中任選2名，求這兩名同學(xué)數(shù)學(xué)成績均在中的概率．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，，，．

（1）求證：平面平面；

（2）若，求二面角的大小．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為．

（1）求函數(shù)的解析式及對稱中心；

（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于x的方程在區(qū)間上有兩個不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案